Definición

 

 

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales ordenados como  

a1, a2, a3,..., an

Cada uno de los números que componen la sucesión se llama término de la sucesión. Se nombran con una letra y un subíndice que depende del lugar que el término ocupa en la sucesión.

A veces, podemos encontrar una expresión (fórmula) que sirve para obtener un término cualquiera de la sucesión con solo saber el lugar que este ocupa. A esta expresión se le llama término general

 

Ejemplo: Sucesión

Dada la sucesión

2,4,6,8,10,\cdots
a) Halla el término 10.
b) Halla el término general

 

Estrictamente hablando, como una sucesión es una función, deberíamos escribirla como un conjunto de pares ordenados en la forma:
f = {(1, f (1)), (2, f (2)), (3, f (3)),..., (n, f (n)),...}, o
f = {(1,a1 ), (2,a2 ), (3,a3 ),..., (n ,an )}
pero debido a la dificultad que entraña para su manejo esta forma de simbolizarla, en adelante, cuando se haga referencia a una sucesión de reales, nos referiremos a los elementos del rango. Es decir, se dirá «considere la sucesión a1 ,a2 ,a3 ,..., », donde los puntos suspensivos indican que los números ai continúan indefinidamente. O también, escribiendo entre corchetes { } el término general o el término n-ésimo de la sucesión.
 
 
SUCESIONES DEFINIDAS RECURSIVAMENTE

Los valores de los términos de una sucesión pueden definirse explícitamente mediante fórmulas como . Hay sucesiones que se definen implícitamente mediante reglas que permiten encontrar un término de la sucesión utilizando otros términos que lo preceden en la sucesión.

Definición recursiva de sucesión Una sucesión está definida recursivamente siempre que:

(B)Cláusula base: Los valores de algunos términos de la sucesión, generalmente el primero, o los primeros, se especifiquen explícitamente.

(R)Cláusula recursiva: Los valores de los otros elementos de la sucesión están definidos en término de valores previos en la sucesión.

En la cláusula base se dan los valores de los elementos a partir de los cuales se generan los demás valores de la sucesión.

La cláusula recursiva nos describe la manera (reglas o fórmulas) para obtener los otros valores de la sucesión (de manera “recurrente”).

Ejemplo: Sucesiones aritméticas

La sucesión definida por , es decir,

Es un ejemplo de sucesión aritmética, en donde cada término se obtiene del anterior sumándole 2.

Una definición recursiva de esta sucesión es:

(B) 

(R) .

En general, una sucesión aritmética es una sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene sumando al término precedente un mismo número fijo d, llamado diferencia común. Es decir, una sucesión aritmética es de la forma

Teniendo en cuenta la definición anterior, una manera de definir recursivamente una sucesión aritmética con diferencia común d es:

(B) 

(R) .

Utilizando esta definición para la sucesión aritmética con primer término y diferencia común , podemos calcular por ejemplo, 

,

,

,

.