Función Logarítmica

 

La Función Logarítmica. Logaritmos.

Definición. Para  y  se define el logaritmo en base b de N, y se escribe , como el exponente x al que hay que elevar b para obtener N.

Es decir:

Ejemplo 4.

Según la anterior definición se tiene:

  •   porque .

  •  porque .
  •  porque .

Todavía, no se está en capacidad de responder preguntas como que es . Lo único que se puede decir es que es un número x que satisface que .

Hay que notar que los números negativos y el cero carecen de logaritmo en cualquier base debido a que, según la definición, no existen números reales x que cumplan que:

si .

Así, por ejemplo,  no existe porque no hay un número real x, que cumpla que .

 

Propiedades de los Logaritmos.

Hay cinco propiedades fundamentales de los logaritmos y son las siguientes:

Para demostrar que  se parte del hecho siguiente:

Sea  y .

Por la definición de logaritmo se tiene que  y .

Por tanto .

Usando la definición de logaritmo, en la expresión anterior, se tiene que,

O sea que: .

Para demostrar que , hay que hacer notar que . Utilizando la definición de logaritmos se obtiene que  .

Usando la definición de logaritmo se pueden obtener otras dos propiedades adicionales a saber:

  •  porque .
  •  porque .

Ejemplo 5.

Escríbase la siguiente expresión como un único logaritmo: .

Solución.

Si se utilizan las propiedades anteriores, la expresión se puede rescribir como:

Ejemplo 6.

Hállense los valores de x que satisfacen que: .

Solución.

Se sabe que .

Por tanto, .

Usando la definición de logaritmo se obtiene: .

O sea que:

 

Por tanto  y .

El valor de  se desecha porque no están definidos logaritmos de números negativos.

 

Cambio de base.

A veces puede ser necesario conocer el logaritmo de un número x en una base , conocido el logaritmo de este número en una base . Esta propiedad la garantiza el siguiente teorema:

Las bases mas utilizadas para el cálculo de logaritmos son la base 10 y la base .

Cuando se usa la base 10, los logaritmos se llaman logaritmos comunes o de Briggs y normalmente se obvia la escritura de la base.

Cuando se usa la base , los logaritmos se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales.

En conclusión, estas dos clases de logaritmos se interpretarán de la forma siguiente:

  • .
  • .

 

TALLER PROPUESTO

Ecuación logarítmica

Del siguiente taller responde: [4 ; 8] , [11 ; 15] y [22 ; 31]

 

TALLER DE ECUACIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

 

TALLER FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA: APLICACIÓN

 

La Función Logarítmica.

Dado que las funciones exponenciales son uno a uno, en todo su dominio, tiene sentido hablar de su función inversa que no es mas que la función logarítmica definida de la manera siguiente:

.

La anterior función, se llama función logarítmica en base a.

Por ser las funciones exponencial y logarítmica, funciones inversas la una de la otra, se cumple que si     y  , entonces  y .

En efecto:

.

.

Si se dibujan en el plano cartesiano la función  y  que son funciones inversas,  una de la otra, se obtiene la gráfica siguiente:

Se puede observar que cada grafica es la reflexión de la otra sobre la recta .

 

Tomado de:

http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/Archivos/index.html

Comportamiento de la función logarítmica