Algo de historia

RESUMEN. Este trabajo es un resultado de la investigación de la Historia de la Geometría Analítica. En él se destacan los aportes de matemáticos de diversas épocas y culturas, así como también tratamos de evidenciar la evolución de este método a través del tiempo. No olvidamos hacer referencia a anécdotas interesantes, aplicaciones a través de la historia y demostración de un teorema alusivo al tema

Introducción

En más de alguna ocasión nos hemos sorprendido por la genialidad de personas que realizan descubrimientos en diversas áreas, por ejemplo: la invención del computador, el microscopio, o los medicamentos como la penicilina. Esto también ocurre cuando aprendemos matemáticas, ya que si bien no es común indagar en su historia, tanto la axiomática, como la teoría tienen antecedentes desarrollados por matemáticos, los cuales muchas veces no publican sus descubrimientos o son atribuidos a algún otro personaje, e incluso en ocasiones éstos se ligan a interesantes anécdotas. En fin, existe muy poco conocimiento acerca del tema.

Como estudiantes de Pedagogía en Matemáticas de esta Universidad, nos preparamos en un alto nivel en áreas fundamentales llamadas conocimiento del contenido y conocimiento pedagógico del contenido, lo que nos permite responder satisfactoriamente a preguntas como: ¿Qué enseñar? ¿Cómo enseñar? ¿Cómo aprenden los estudiantes? etc. Es por esto que es necesario comprender aspectos de la evolución de las matemáticas como la epistemología. Como ejemplo tomemos los conceptos de función o la idea de límite, que presentan bastante dificultad en su comprensión, por lo que muchas veces aparecen como un obstáculo epistemológico, directamente relacionado con el objeto matemático.

Es por esto que en este informe se llevará a cabo un estudio, acerca de la historia de la Geometría Analítica, ya que es una rama de la Geometría que posee una importancia suprema en la evolución de la sociedad desde hace más de 2000 años, y que también se puede trabajar con profundidad en la Enseñanza Media. El saber algo de su Historia nos permitirá conocer y comprender su evolución, sus aportes y las consecuencias que esta rama trajo y trae consigo hasta hoy en día.

Entonces se abordarán aspectos como los antecedentes históricos; también, personajes que son reconocidos como los precursores de la geometría analítica; además de contenidos de la misma disciplina como las secciones cónicas o la construcción del llamado plano cartesiano, hasta las concepciones que hoy en día se tienen o las aplicaciones en áreas diversas.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría analítica se define como un método que unifica el álgebra y la geometría.

Los primeros pasos en la geometría analítica los dio Menecmo hacia el año 350 a. de C. cuando intentaba resolver el problema de la duplicación del cubo (construir un cubo de doble volumen a partir de otro dado). Redujo el problema al de la construcción de las dos medias proporcionales entre 2 y 1, es decir, si encontramos x e y tales que:

Entonces :      

Por lo tanto, el cubo de lado x tiene el doble de volumen que el de lado y.

A partir de las ecuaciones obtenidas Menecmo descubrió secciones de un cono circular. También se piensa que él aplicó técnicas que llevaban implícito el sistema de coordenadas que utilizamos hoy en día. Estas secciones encontradas por Menecmo comenzaron a estudiarse más a fondo en el primer siglo de la época helénica donde sobresalían matemáticos como Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.

A finales del siglo IV existieron dos obras muy importantes, la primera fue de Aristeo “El libro de los lugares sólidos” donde plantea que las cónicas se obtienen por secciones de cilindros; y la segunda obra se le atribuye a Euclides, de quien dicen que además de haber escrito su obra “los elementos”, habría escrito 4 tomos sobre las cónicas de los cuales no queda ningún ejemplar y se piensa que el contenido de esos tomos aparece en las líneas fundamentales de los libros de “Las cónicas” de Apolonio.

Apolonio vivió entre 262-190 a. de C., nació en Perga en el sur de Asia Menor. Una de sus obras más importantes, “Las Cónicas” recogían en 8 tomos, todo el saber de la época acerca de las cónicas y fue él quien dio el nombre de parábola, elipse e hipérbola a las curvas correspondientes (aunque existen indicios de que Arquímedes ya había usado el término de parábola).

Los pasos (importantes) siguientes, no vendrían sino hasta cerca de 1800 años después, junto con dos franceses René Descartes (1596 - 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). “Ambos creadores de la geometría analítica”, en forma simultánea e independiente.

La Geometría de Descartes fue publicada en 1637 como uno de tres apéndices de su obra más importante: Discurso del Método. Su trabajo es más general en alcance que el de su compatriota Fermat, su mérito consiste sobre todo en la aplicación del álgebra del siglo XVI al análisis geométrico de los antiguos. Dos siglos después Ampere denominó a este método de la geometría como “geometría analítica”.

En tanto, Fermat aplicó en una nueva dirección el estudio de los lugares geométricos, en su trabajo (1629) dedica escasas 8 hojas a la línea, al círculo y a las secciones cónicas. Estableció en un lenguaje preciso el principio fundamental de la geometría analítica; “si en una ecuación se tienen 2 cantidades desconocidas tenemos un lugar geométrico que puede ser una recta o una curva”; demostró además que las ecuaciones de primer grado expresadas en términos generales como  representan rectas, mientras que las ecuaciones de segundo grado de la forma:  representan circunferencias, y otras ecuaciones de segundo grado pueden representar en general: parábolas, elipses o hipérbolas. Sin embargo, aunque el trabajo de Fermat fue más sistemático en algunos aspectos, no fue publicado de hecho sino hasta 1679, después de su muerte, y por esta razón hoy hablamos de la geometría cartesiana en lugar de la geometría fermatiana. Situación que aun hoy implica discusión y confrontación entre los grupos defensores de cada matemático.

Pero valorizar un trabajo más que otro no es quizás lo correcto, sería más adecuado destacar los aportes de cada uno de ellos, ya que, mientras que Descartes comúnmente empezaba con una curva y derivaba su ecuación algebraica, Fermat comenzaba con una ecuación algebraica y derivaba de ella las propiedades geométricas de la curva correspondiente. Así, los trabajos de Descartes y Fermat tomaron juntos, acompasadamente, los dos aspectos complementarios de la geometría analítica: el estudio de ecuaciones a través del significado de las curvas y el estudio de curvas definidas por ecuaciones.

Ni Descartes ni Fermat usaron sistemáticamente dos ejes de coordenadas en la forma estándar actual. Lo más cercano a ello viene indicado en el principio guía de Fermat: Cuando encontremos dos cantidades conocidas en una ecuación, tenemos un lugar geométrico, la extremidad de una de éstas describe una línea, recta o curva. Además Fermat pudo haber concebido el modo de construir curvas por medio de las ecuaciones representativas, la "propiedad específica" de cada una, como la llamó; pero no lo vio o no lo presentó como un procedimiento que pudiera dominar en la matemática; no así Descartes para el cual éste era un método nuevo y general de resolver todos los problemas.

Ahora bien, toda esta disputa entre los aportes de uno o de otro, no dejó de tener repercusiones en la vida personal. En su tiempo se hicieron muy “famosos” tanto Descartes como Fermat, en parte por el nuevo método que ambos aportaban a la ciencia. Lo anterior evidentemente trajo consigo cada vez atraía más miradas, hasta que un día la reina Cristina de Suecia invita a Descartes en 1649 para que le introduzca en su filosofía. Descartes, reticente, parte en septiembre para Suecia. El alejamiento, el rigor del invierno, la envía de los doctos del reino, dificulta su estancia. La reina le cita en palacio cada mañana puntualmente a las 5.00 horas para recibir sus lecciones; Descartes, de salud frágil coge una neumonía que lo lleva finalmente a la muerte el 11 de febrero a los 53 años de edad.

Finalmente podemos decir que ni Descartes ni Fermat son responsables de la geometría analítica actual, ya que fue Leonhard Paul Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano (que hoy conocemos como cartesiano), introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales.

Aunque no podemos quitar crédito a los franceses fundadores, ni a los helenos que elevaron la geometría a niveles no vistos hasta entonces, ni a los alejandrinos que sentaron las ideas básicas de lo que hoy conocemos como Las Cónicas. Sin todos ellos, la geometría analítica hoy no sería lo que es y tal vez nunca habría dado cabida a un vasto territorio virgen de curvas nuevas para ser estudiadas y no se habría convertido en estímulo para la invención de técnicas algorítmicas que permitieran su investigación sistemática o cualquiera otro avance y aplicación dentro las cientos que ésta tiene en áreas diversas del desarrollo de la humanidad.          

Algunas de éstas van desde la más antigua y su uso en la filosofía matemática, en los tiempos de Grecia, hasta las más actuales y variadas áreas como Topografía, en donde se necesita calcular distancias, ángulos, alturas, etcétera. Los Ingenieros Civiles la usan mucho para resolver problemas, que sin la ayuda de la geometría analítica y el cálculo diferencial, no serían posibles resolver.

Además en disciplinas como la matemática, física, bio-matemática, astronomía, ingeniería, arquitectura, etc. Sin olvidar las investigaciones científicas de todo tipo, la gestión de los recursos, gestión de activos, la arqueología, la evaluación del impacto ambiental, la planificación urbana, la cartografía, la sociología, la geografía histórica, el marketing, la economía, la arquitectura (en donde es fundamental), la logística y los sistemas de posicionamiento global por nombrar unos pocos. Por ejemplo, un SIG (Sistema de Información Geográfica) depende de la geometría analítica y, algunos de sus usos son permitir a los grupos de emergencia calcular fácilmente los tiempos de respuesta en caso de un desastre natural; además, puede ser usado para encontrar los humedales que necesitan protección contra la contaminación, o también, pueden ser utilizados por una empresa para ubicar un nuevo negocio y aprovechar las ventajas de una zona de mercado con escasa competencia.

Actualmente siguen surgiendo aplicaciones como por ejemplo: dónde poner el centro de gravedad en un auto de F1 (Fórmula Uno). O la reducción del ruido que se percibe dentro de las cabinas de los aviones comerciales y militares. También tenemos aplicaciones militares variadas como sistema de guía de misiles, telecomunicaciones, etcétera.

También la geometría analítica está presente en la formación de profesionales como asignatura de estudio obligatorio en las escuelas de ingeniería, arquitectura, física y matemáticas (entre otras) del mundo entero, el estudio de la Geometría Analítica persigue el desarrollo intelectual del estudiante en dos campos distintos pero complementarios: la comprensión del entorno que rodea al individuo y el desarrollo de una estructura de pensamiento lógica, lo cual permite al profesional sentar las bases de otras disciplinas, como la mecánica de cuerpos rígidos, deformables y fluidos, enfrentando, al mismo tiempo, los problemas específicos de su área según un enfoque heurístico, no memorístico, de la realidad objeto de estudio.

 Casanova, F., Madriaga, J. & Gálvez, J

Bibliografía.

1.     Lehmann, C. 1989. Geometría Analítica. México, Editorial Limusa S.A.

2.     Infante, J. Nociones básicas de geometría analítica. Recuperado el lunes 13 de junio de 2010 desde apuntes personales de los autores.

3.     Extracto de Biografía de Rene Descartes. Recuperado el martes 8 de junio de 2010, desde: www.webebdianoia.com/moderna/descartes/desc_bio.htm

4.     Mena, A. 2001. Elementos de Matemáticas 2. Valparaíso. PUCV.

5.     Hernández, V. 2002. Apuntes de Historia de las Matemáticas. Recuperado el lunes 13 de junio de 2010 desde: https://www.scribd.com/doc/33452369/Historia-de-las-matematicas

Conclusiones

Se conoce muy poco de la historia de la matemática y todo cuanto es relativo a ella. Escasamente se sabe que los griegos son los fundadores de la geometría actual (dentro de muchos otros aportes importantísimos).

Asimismo de la Geometría Analítica se sabe que vincula la geometría con el álgebra (a grandes rasgos) y, sus fundadores (los únicos personajes que conocíamos hasta ahora) eran Descartes y Fermat, pero vagamente comprendíamos cuál era el papel de cada uno de ellos en la Historia. Esto cambia radicalmente tras realizar la investigación y componer este trabajo, ya que pudimos darnos cuenta que la geometría analítica no es una invención espontánea de un par de matemáticos, ya que ¡esto no es verdad! Es una construcción que se remonta a más de 2000 años de nuestro tiempo, por lo que se conoce mucho antes que Cristo, luego es anterior a la religión Católica.

Además luego de investigar, es inevitable preguntarse ¿Cómo es que dos personas que no tenían relación alguna, pudieran redefinir prácticamente lo mismo y simultáneamente? Es cierto que hay precedentes como lo es la invención del Cálculo Infinitesimal por parte de Newton y Leibniz.

Con esta investigación se obtienen hechos que permitirán presentar la Geometría Analítica desde un punto de vista socio-histórico, destacando pasajes importantísimos como lo son sus inicios y los personajes que dieron vida a conceptos que hoy tienen aplicación en, virtualmente, todas las áreas que generan desarrollo científico, económico, político y social.

¿Qué importancia tiene lo anterior? Creemos que de este modo se nos brindan herramientas claves para trabajar con estudiantes que cada día presentan menos motivación e interés por la matemática. Complementar y mejorar un área casi olvidada dentro de la educación como lo es la geometría, que es trascendental para el desarrollo cognitivo del estudiante, así como también, vital para vincular y fortalecer conceptos y objetos matemáticos de diversas áreas, como por ejemplo funciones, expresiones algebraicas y su operatoria, ecuaciones, etcétera. Tal vez hasta generar un cambio real en niños y niñas que pertenecen a un sistema que cada día entrega peores resultados en todo medio de evaluación nacional e internacional al que es sometido. En fin, los límites y posibilidades los define uno.

Otra situación que puede extraerse es la visión de los matemáticos antiguos, que teniendo tan pocas herramientas, realizaron descubrimientos increíbles e incluso son responsables de lo que hoy somos como sociedad. ¡Que ganas de seguir ese ejemplo!, que emoción se siente estar estudiando matemáticas y saber que tal vez podamos llegar a crear o descubrir algo que marque la diferencia en la historia, que trascienda más allá de lo que imaginamos y que sea un real aporte a todos o que simplemente cambie la vida de un niño para bien.