Apuntes históricos

 

 OBJETO DE LA GEOMETRÍA

Muchos de los principios geométricos entran casi en el dominio del conocimiento vulgar. El labrador que parcela sus tierras, que corta la cosecha de heno, o que traza y planta un huerto, sin darse cuenta actúa de geómetra. El mecánico acude continuamente a los teoremas de la geometría, otro tanto le pasa al carpintero y al albañil: cada vez que echan mano de la escuadra, el nivel, de la plomada o del gramil, es para aplicar uno de los principios de la geometría. Las ideas en que se basan los ingenieros y los planos del arquitecto, son,   fundamentalmente geométricas. La naturaleza, los edificios y puentes, los jardines y parques, ofrecen de continuo a nuestros ojos formas geométricas, ya aplicadas a un fin utilitario, ya persiguiendo un objetivo puramente estético.

El estudio de la geometría se propone llegar al conocimiento de dichas formas, a su clasificación y nomenclatura, y a la aplicación concreta de sus propiedades para resolver los problemas de carácter práctico que el trabajo diario plantea.

APUNTOS HISTÓRICOS

La palabra Geometría es un compuesto de dos voces griegas geos (tierra) y metrón (medida), habiéndose denominado así esta ciencia porque, efectivamente, debe su origen a la necesidad, que desde remotos tiempos, tuvo el hombre de medir terrenos. Y como siempre es la necesidad, que desde remotos tiempos, tuvo el hombre de medir terrenos. Y como siempre es la necesidad quien hace que el hombre busque una solución más adecuada a los problemas que se presentan. Fue así como aproximadamente 2000 años antes de nuestra era, los egipcios dieron vida a lo que hoy podríamos llamar el embrión de la geometría. Su sistema social y económico estaba basado en el aprovechamiento de la tierra y por lo tanto debía haber algún método que permitiera lograr un reparto de ella de acuerdo con las leyes establecidas. Sin embargo, aquellas parcelas ubicadas en las orillas del río Nilo frecuentemente se veían afectadas   por las crecientes y con ellas, los linderos plantados, desaparecían. Parece ser de acuerdo con estas actuaciones y con vestigios tan impresionantes como las pirámides y la gran esfinge, que los egipcios poseían conocimientos puramente empíricos sobre astronomía y geometría. Aún hoy, se conservan en museos papiros donde se constatan algunos tratados burdos sobre una especie de álgebra tosca y en los cuales se dan unas fórmulas curiosas pero erróneas sobre el cálculo de áreas de figuras planas e inclusive se hace una primera aproximación al número  π (pi).

Los babilonios también dejaron constancia escrita de sus “inquietudes geométricas”, y lo hicieron en las famosas tablillas de arcilla, en las cuales escribían y posteriormente cocían al sol para que, una vez endurecidas, pudiesen ser guardadas y consultadas. Parece ser,   sin embargo, que en el conocimiento adquirido por esta cultura el nivel de geometría fue más artístico o arquitectónico que técnico o matemático, ya que usaron las figuras geométricas para adornar paredes y pisos de templos o palacios.

Nótese que hasta el momento no puede hablarse de la geometría como una ciencia, ya que como se anotó anteriormente, todo el conocimiento estaba basado en la experiencia, más no en el razonamiento lógico. Es aquí donde aparece el pueblo griego con su espíritu investigativo y su mente inquieta por conocer las leyes que gobiernan el cosmos. Y podían darse el lujo de disertar sobre cuestiones profundas pues su economía próspera, no sólo se los permitía, sino también, les posibilitaba el continuo contacto con otras tierras y otras culturas. Seguramente de los egipcios tomaron muchas de esas ideas burdas para someterlas al tamiz del pensamiento.

Thales de Mileto, (640 - 548 a.C.), fundó en su ciudad natal una escuela matemática y filosófica llamada escuela Jónica. Fue quizás, quien primero abordó el estudio de la geometría en forma organizada y a quien se le atribuyen teoremas sencillos pero importantes para el desarrollo de la joven ciencia.

Pitágoras, (580 – 500 a.C.) fue un discípulo de Thales y uno de los hombres más famosos de la antigüedad. Se dedicó a recorrer durante los años de su juventud probablemente Egipto y Babilonia e inclusive, parece ser que estuvo en la India. Fundó al igual que su maestro una escuela filosófica y una sociedad secreta para divulgar sus doctrinas, localizada en Crotona, al sur de Italia. Se atribuyen a él (o a su escuela) algunas construcciones geométricas que hasta el momento no habían podido ser resueltas, al igual que la demostración de ciertos teoremas que aunque ya se usaban no habían sido probados.

En los dos siglos posteriores se sigue profundizando sobre lo trabajado por Thales y Pitágoras apareciendo figuras como las de Enópides de Quios (siglo V a.C.) e Hipócrates de Quios (siglo V a.C), quienes resolvieron algunos problemas sobre construcciones geométricas e inclusive éste último escribió el primer texto griego de matemáticas por los años 430 a.C., Antífono y Brisón, estudiaron al círculo, tratando de hablar el área de éste agotando la diferencia entre un polígono inscrito o circunscrito y el círculo mismo, de tal manera que a este método se le conoce con el nombre de “método de la exhaución o agotamiento”. 

Por los años 429 a.C., aproximadamente aparece en Atenas la escuela de Platón a quien se le atribuyen los primeros esfuerzos   por establecer definiciones iniciales que permitan separar la geometría elemental del a superior.

Dicha separación consiste en que básicamente la primera resuelve los problemas con base en instrumentos de dibujo como el compás y la regla, mientras que la segunda se ocupa de aquellos enunciados que requieren de un proceso lógico para su resolución. De esta escuela hay que recalcar el estudio que hizo de los llamados “números pitagóricos”, los cuales consisten básicamente en valores que representan los tres lados de un triángulo rectángulo, tales que el cuadrado de uno es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados.

La muerte de Alejandro Magno había conducido a una feroz contienda entre los  generales del ejército griego, pero hacia el año 308 a.C., el control de la parte egipcia del imperio estaba ya firmemente en las manos de Tolomeo I, y éste ilustrado gobernante pudo dirigir al fin su atención a esfuerzos más constructivos. Entre sus primeras decisiones estuvo el establecimiento de una escuela o instituto en Alejandría, conocido como el Museo, no superado por ningún otro en su tiempo. Como profesores de esta escuela hizo llamar a un grupo de sabios de primera línea, entre los cuales estaba el autor del texto de matemáticas de éxito más fabuloso que se haya escrito nunca, Los Elementos de Euclides; por el carácter de su obra se puede suponer que había estudiado con los discípulos de Platón, si no en la academia misma. Euclides pasaría por siempre a la historia de la matemática por recopilar y organizar en un texto toda la información acerca de los conocimientos adquiridos por los pitagóricos y por la escuela de Platón sobre la geometría. Fue una síntesis verdaderamente asombrosa ya que en trece “libros” (capítulos) sintetizó y plasmó en forma rigurosa desde el punto de vista lógico y metodológico, la sabiduría recopilada durante varios siglos de verdadera fecundidad intelectual.

Euclides no hacía hincapié en los aspectos prácticos de la materia, pues hay una leyenda acerca de él que dice que cuando uno de sus alumnos le preguntó que utilidad tenía el estudiar geometría, Euclides ordenó a su esclavo que le diera unas monedas, “ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende”, Euclides y los Elementos son considerados frecuentemente como sinónimos, pero en realidad él fue el autor de aproximadamente una docena de tratados que cubrían ampliamente materias variadas, desde óptica, astronomía, música y mecánica hasta un libro sobre las secciones cónicas. Las obras de Euclides que han sobrevivido son los tratados de matemáticas griegas más antiguos existentes; sin embargo, se han perdido más de la mitad de los escritos de Euclides, entre los que están algunas de sus obras más importantes, tales como un tratado sobre cónicas. Hasta nuestros días han sobrevivido cinco obras de Euclides; Los Elementos, datos, La División de Figuras, Los Fenómenos y La Óptica. La última de estas obras tiene el interés de ser una obra primitiva sobre la perspectiva o la geometría de la división directa.

La finalidad de los elementos: La Universidad de Alejandría no era probablemente  muy distinta de las instituciones modernas de enseñanza superior. Algunos de los miembros de la facultad sobresalían en la investigación, otros se adaptarían mejor a tareas administrativas y otros aún se destacarían por su capacidad pedagógica. Según parece por las referencias que se tienen, Euclides pertenecía de manera muy definida a eta última categoría; no hay ningún descubrimiento nuevo que se le atribuya a él directamente, pero si se destacó por su habilidad expositiva. Esa es la clave del éxito de su obra más importante, Los Elementos: se trataba claramente de un libro de texto, y no precisamente el primero. Se conoce que hubo al menos tres elementos análogos anteriormente, incluyendo el de Hipócrates de Quios, pero no queda ni rastros de ellos ni de ningún otro rival potencial durante los tiempos antiguos. Los Elementos de Euclides se destacaron tanto por encima de los restantes competidores que fueron los únicos que sobrevivieron. Los elementos no eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental.

Los Elementos se limitan austeramente al asunto de que se trata, la exposición en un orden lógico de los fundamentos de la matemática elemental.

De vez en cuando, sin embargo, otros escritores posteriores interpolaron en el texto explicaciones en forma de escolios, y los copistas posteriores copiaron dichos añadidos como si fueran parte del texto original: algunos de ellos aparecen en todos los manuscritos existentes actualmente. Euclides mismo no formuló ninguna pretensión de originalidad, y está claro que debió hacer abundante uso de las obras de sus predecesores, pero se cree que la ordenación final es suya propia y presumiblemente algunas de las demostraciones se deban también a él, pero aparte de esto es difícil estimar el grado de originalidad que hay en esta obra matemática, la más famosa de la historia.

A pesar de todo, poco se habla en el libro sobre la geometría del espacio, ya que no se había estudiado suficientemente hasta el momento. Aparece entonces Arquímedes  (287 – 212a.C.) Célebre matemático de Siracusa, en Sicilia, quien se dedica al estudio de los sólidos, especialmente de la esfera y del cilindro y quien planteó además un sistema para encontrar el valor del número π (pi). Apolonio de Pérgamo (hacia el año 250 a.C? también profesor en Alejandría, se dedica al estudio de las secciones cónicas, dejando prácticamente agotado el tema.

Hacia los comienzos de nuestra era, Herón de Alejandría demuestra la fórmula que permite calcular el área de un triángulo en función de su perímetro y la longitud de cada uno de sus lados. Dignos de mencionar en esta época también son Tolomeo y Papo. El primero por la demostración de un teorema usado en el cálculo de cuerdas y el segundo, por el método que permite encontrar la superficie generada al girar una línea alrededor de un eje o el volumen formado por una superficie que igualmente rota alrededor de dicho eje en un plano.

Desde la caída del imperio romano hasta el final del siglo XVI, los matemáticos sufren un estancamiento notable para que por esa época comience una nueva era de progresos en la geometría que llevaron a esta ciencia hacia las llamadas   geometrías no euclidianas, las cuales han utilizado principios diferentes a los tradicionalmente usados hasta el momento. Tales principios conformaron una ciencia nueva, diferente, que seguramente seguirá conduciendo al conocimiento humano hacia las fronteras del infinito.

LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

Nacen al tratar de demostrar el V postulado de Euclides.

En el siglo XVII Saccheri establece una cadena de consecuencias lógicas a partir de las veintiséis primeras proposiciones de Euclides independientes del postulado y negar este con la esperanza de llegar a una contradicción para deducir de ella, por el absurdo, la validez de aquel, pero no lo consiguió: dejando aportes importantes a Gauss para resolver repetidamente un problema. La geometría no euclidiana parece simultáneamente en tres lugares diferentes Alemania, Rusia y Hungría. Cuyos precursores respectivamente fueron Gauss, Lobatschewsky y Bolyai.

Gauss dice: “dos rectas coplanares no incidentes son paralelas si toda recta trazada  por un punto de la primera y comprendida en ángulo formada por ella y la primera recta encuentra la segunda” y partiendo de esta definición que comprende como caso particular la euclidiana, llega a una geometría lógicamente coherente en la que prescinde del postulado y descubre en sus fórmulas la presencia de una constante, la cual observa al medir los ángulos del   triángulo formado por los vértices de tres montañas y comprobar que su suma difería de dos rectos en una pequeña cantidad.

Contemporáneo de Gauss. Schwikart desarrolla una geometría astral en la cual la suma de los ángulos de un triángulo no vale dos rectos. Pero es Lobatschewsky el primero que publica algo sobre las geometría no euclidianas (1826=.

Lobatschewsky sustituye la palabra “paralela” por la frase “rectas que no se encuentran por mucho que se las prolongue”, clasifica las rectas de un plano en dos grupos con respecto a otra coplanaria con ellas: Las que se cortan, y las que no se cortan, construyendo una geometría lógica que conserva los teoremas euclideos que no dependen del postulado, por ejemplo, la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice, etc. Pero en la geometría Lobatscewskiana las paralelas no se cortan, pero la distancia entre ellas disminuye a medida que se prolongan, la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos, etc., y otras muchas que parecen estar en contra de lo establecido por Euclides, pero que tienen el mismo valor lógico. Bolyai llega a lo mismo por otro camino. Y finalmente Riemann, que aborda el problema geométrico buscando las propiedades que caracterizan un espacio en cualquier número de dimensiones, llega a conclusiones como que la suma de los ángulos de un triángulo vale más de dos rectos.

 La geometría riemanniana es la geometría de una superficie esférica ampliada en el espacio y en ella el camino más corto entre dos puntos   no es la línea recta, sino el arco del círculo máximo determinado (línea curva).

A partir de la geometría euclidiana aparece la mecánica newtoniana que cede el paso a la mecánica no newtoniana: la relatividad de Einstein esta inspirada en las geometrías no euclideas.

Así como la mecánica newtoniana es un caso particular de la de Einstein, la geometría euclidiana es un caso particular de las no euclideas. Sin el desarrollo de las geometrías no euclideas   no sería posible el desarrollo que en este momento tiene la ciencia.

Cuando se creía completamente terminada la revisión de la obra de Euclides, Klein dice que la geometría no euclidea “solo es un primer paso en una dirección mucho más general”.

Las palabras de Klein no caen en el olvido y desde entonces han aparecido más geometrías.

 En estos últimos años se ha venido formando una nueva geometría, la geometría fractal bosquejada por el francés Mandelbrot, quien utilizó el término “fractal” para denotar objetos que solían surgir a partir de la aplicación de ciertas fórmulas matemáticas y que presentaban formas intermedias entre superficies y volúmenes. Así desde 1980, lo que parecía desorden y caos, va adquiriendo un lenguaje y una geometría concreta. Los objetos fractales poseen dos características esenciales: la autosimilaridad y la dimensión fractal; estas figuras son similares en sí mismas, es decir, son réplica exacta del original una vez este se divide en partes infinitas y en escalas descendentes. En cuanto a la dimensión fractal no es un número entero como en las dimensiones ya conocidas sino que puede ser una fracción simple o un número irracional. 

Ejemplos de fractales serían: un pino, un rayo, un pulmón, una curva de koch, etc.

En la geometría euclidiana es necesario que todos los términos que usemos tengan exactamente el mismo significado para cada uno de nosotros.

En la geometría una buena definición tiene dos características importantes:

·        Las palabras en la definición deben ser más sencillas que la palabra que se está definiendo y deben ser fáciles de comprender.

·        La definición debe ser una proposición reversible, por ejemplo:   Angulo recto: ángulo cuya medida es 90°.

Si tenemos un ángulo recto tenemos un ángulo cuya medida es 90°.

Si tenemos un ángulo cuya medida es 90° tenemos un ángulo recto.

Pero en la actualidad se usan muchas palabras que no pueden definirse así con esas características, sólo pueden describirse en términos de otros conceptos igualmente indefinibles, puesto que no hay palabras más sencillas para definir el término no se hace ningún esfuerzo para describirlo.

Al usar un término indefinido se supone que la palabra es tan elemental que cualquier persona conoce su significado.