Circunferencia
Ejercicios Resueltos de la Circunferencia
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1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 .
Solución: Aplicando completando trinomios cuadrados perfectos obtenemos:
( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0
Al reducir la expresión obtenemos la ecuación de la circunferencia
( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0
Por tanto, el centro y el radio son:
C ( 8 , - 1 ) ; a = 0
2. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:
x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 .
SOLUCIÓN
Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos:
( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0
( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4
De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y K = 4.
Como a² =4, entonces a = 2.
El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al
centro C.
a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4
Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:
( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16
3. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.
SOLUCIÓN
El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:
C (h ,k)
k = 2
h = -2
Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:
radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 ,
por lo tanto, C B ² = 52 = radio
La ecuación de la circunferencia pedida es:
( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52.
4. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).
Solución: Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos:
(x + 5)² + (y – 12)² = 169
x² + y² + 10x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica.
Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).
5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia.
SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación:
x = 10 - 2 y
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se
obtiene:
(10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0
100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0
5 y² - 40 y + 80 = 0
y² - 8 y + 16 = 0
Resolviendo para y:
Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X:
x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2
De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia, porque sólo tienen un solo punto común T(2,4), que es precisamente el de tangencia.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA
- Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.
- Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: 9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia
- Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación:
4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0.
- El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.
- Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones:
x² + y² - 2 x + 4 y = 0
x² + y² + 2 x + 6 y = 0
- Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferencia x² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto.
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