Función Logarítmica
La Función Logarítmica. Logaritmos.
Definición. Para 
y 
se define el logaritmo en base b de N, y se escribe 
, como el exponente x al que hay que elevar b para obtener N.
Es decir:
Ejemplo 4.
Según la anterior definición se tiene:
-
porque 
. -
porque 
. -
porque 
.
Todavía, no se está en capacidad de responder preguntas como que es 
. Lo único que se puede decir es que es un número x que satisface que 
.
Hay que notar que los números negativos y el cero carecen de logaritmo en cualquier base debido a que, según la definición, no existen números reales x que cumplan que:
si 
.
Así, por ejemplo, 
no existe porque no hay un número real x, que cumpla que 
.
Propiedades de los Logaritmos.
Hay cinco propiedades fundamentales de los logaritmos y son las siguientes:
Para demostrar que 
se parte del hecho siguiente:
Sea 
y 
.
Por la definición de logaritmo se tiene que 
y 
.
Por tanto 
.
Usando la definición de logaritmo, en la expresión anterior, se tiene que,
O sea que: 
.
Para demostrar que 
, hay que hacer notar que 
. Utilizando la definición de logaritmos se obtiene que 
.
Usando la definición de logaritmo se pueden obtener otras dos propiedades adicionales a saber:
-
porque 
. -
porque 
.
Ejemplo 5.
Escríbase la siguiente expresión como un único logaritmo: 
.
Solución.
Si se utilizan las propiedades anteriores, la expresión se puede rescribir como:
Ejemplo 6.
Hállense los valores de x que satisfacen que: 
.
Solución.
Se sabe que 
.
Por tanto, 
.
Usando la definición de logaritmo se obtiene: 
.
O sea que:
Por tanto 
y 
.
El valor de 
se desecha porque no están definidos logaritmos de números negativos.
Cambio de base.
A veces puede ser necesario conocer el logaritmo de un número x en una base 
, conocido el logaritmo de este número en una base 
. Esta propiedad la garantiza el siguiente teorema:
Las bases mas utilizadas para el cálculo de logaritmos son la base 10 y la base 
.
Cuando se usa la base 10, los logaritmos se llaman logaritmos comunes o de Briggs y normalmente se obvia la escritura de la base.
Cuando se usa la base 
, los logaritmos se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales.
En conclusión, estas dos clases de logaritmos se interpretarán de la forma siguiente:
-
. -
.
TALLER PROPUESTO
Ecuación logarítmica
Del siguiente taller responde: [4 ; 8] , [11 ; 15] y [22 ; 31]
TALLER DE ECUACIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
TALLER FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA: APLICACIÓN
La Función Logarítmica.
Dado que las funciones exponenciales son uno a uno, en todo su dominio, tiene sentido hablar de su función inversa que no es mas que la función logarítmica definida de la manera siguiente:
.
La anterior función, se llama función logarítmica en base a.
Por ser las funciones exponencial y logarítmica, funciones inversas la una de la otra, se cumple que si 
y 
, entonces 
y 
.
En efecto:
.
.
Si se dibujan en el plano cartesiano la función 
y 
que son funciones inversas, una de la otra, se obtiene la gráfica siguiente:
Se puede observar que cada grafica es la reflexión de la otra sobre la recta 
.
Tomado de:
https://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/Archivos/index.html
Comportamiento de la función logarítmica